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试卷云
如图1所示，劲度系数为
的水平轻弹簧左端固定在竖直墙壁上，右端连接一质量为
且可视为质点的物块甲，物块甲处于光滑水平面上，
点为弹簧的原长位置。将物块甲向左缓慢移动至与
点相距
的
点，在
点放置一质量为
且可视为质点的物块乙，然后将物块甲从
点由静止开始无初速度释放，物块甲与物块乙碰撞后立即粘合在一起运动，碰撞时间极短可不计。已知质点振动时，如果使质点回到平衡位置的回复力满足
（式中
为质点相对平衡位置的位移，
为比例系数），则质点做简谐运动，且周期
；弹簧形变量为
时的弹性势能
。弹簧始终处于弹性限度内，重力加速度为
，不计空气阻力。
（1）求物块甲与物块乙碰撞粘合在一起后瞬时速度大小，以及碰撞后甲、乙一起第一次回到
点所经过的时间；
（2）如图2所示，移走物块乙，将物块甲置于粗糙水平面上，物块甲与粗糙水平面间的动摩擦因数为
，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，其他条件不变且
，求物块甲从
点由静止释放后，最终停止运动的位置，以及整个运动过程中所经过的时间。
【答案】（1）
，
；（2）物块甲最终停止在O点右侧
处，
【知识点】简谐运动的振幅、周期、频率、利用动量守恒及能量守恒解决（类）碰撞问题
【详解】（1）设物块甲与物块乙碰撞前瞬间，物块甲的速度大小为
，由能量守恒定律可得
设物块甲与物块乙碰撞粘合在一起后瞬时速度大小为
，碰撞过程由动量守恒定律可得
解得
由题知，碰撞后甲、乙将一起做简谐运动，周期为
因此，碰撞后甲、乙一起第一次回到O点所经过的时间为
解得
（2）由分析知，物块甲从P点由静止释放后，先向右做简谐运动，其平衡位置位于O点左侧，设该平衡位置到O点的距离为
，则有
解得
物块甲第1次向右做简谐运动的振幅为
解得
物块甲第1次向右运动至速度减为零后，又向左做简谐运动，其平衡位置位于O点右侧，由分析可知，该平衡位置到O点的距离仍为
，物块甲第1次向左做简谐运动的振幅为
解得
同理分析可知，物块甲第2次向右做简谐运动的振幅为
物块甲第2次向左做简谐运动的振幅为
物块甲第3次向右做简谐运动的振幅为
由
可知物块甲第3次向右运动至速度减为零后，将停止运动，即物块甲最终停止O点右侧，到O点的距离为
由题知，物块甲做简谐运动的周期恒为
因此整个运动过程所经过的时间为
解得
