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试卷云
如图所示，水平轨道与光滑的竖直圆轨道底部平滑连接，每个圆轨道的进口与出口稍微错开，圆轨道的顶端都有一个缺口，关于通过圆轨道中心O的竖直线对称，已知圆轨道的半径都为R，第一个圆轨道缺口圆心角
，且
，以后每个圆轨道缺口圆心角依次减小10°，即
，
，
……，AB段水平轨道光滑，长度为2.5R，连接之后每两个圆轨道之间的水平轨道出口、进口处有一段长度为R的光滑水平轨道，两段光滑轨道用一段长度合适的粗糙水平轨道连接，动摩擦因数为0.02。现一质量为m的小球从A点由静止开始在水平恒力
的作用下开始运动，当小球到达B点时撤去恒力F，重力加速度为g。求：
（1）小球经过
点时对轨道压力的大小；
（2）通过计算说明小球能否从
点飞过缺口，并从
点无碰撞的经过
点回到圆轨道；
（3）通过调节两个圆轨道间粗糙水平部分的长度，保证每次小球飞过下一个圆轨道的缺口后能无碰撞地经过飞出的对称点回到圆轨道，问总共最多能设计出几个符合这样要求的圆轨道，并求出所有圆轨道间粗糙水平轨道的总长度。
【答案】（1）
；（2）见解析；（3）4，
【知识点】应用动能定理解多段过程问题、绳球类模型及其临界条件、斜抛运动
【详解】（1）设小球在
点的速度大小为
，小球从A点运动到
点，根据动能定理
解得
小球在
点时，根据牛顿第二定律
解得
根据牛顿第三定律，小球对轨道压力等于轨道对小球的支持力，即
（2）小球从
点飞出后，做斜抛运动，在竖直方向
小球下落到与
点同一水平高度的时间为
则，在水平方向
此过程中，小球的水平位移为
联立，解得
点和
点的距离为
所以，小球能从
点飞过缺口，并从
点无碰撞的经过
点回到圆轨道；
（3）设总共最多能设计出n个符合这样要求的圆轨道，由（2）同理可得
设此过程克服摩擦力做功为W，根据动能定理
联立，解得
当W取极大值时，克服摩擦力做功最多，经过符合这样要求的圆轨道最多，由数学知识可得，当
即，当
时，符合这样要求的圆轨道最多，此时
此时，克服摩擦力做功最多为
根据动能定理
解得，所有圆轨道间粗糙水平轨道的总长度为
