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试卷云
如图所示，一弹射装置由轨道OABC、直轨道CD和DE、左右对称的“雨滴”形曲线轨道EFG（F为最高点）和L形滑板组成。已知OA竖直，ABC是圆心在
、半径
的圆弧（B为最高点）。L形滑板质量
，上表面（除突出部分）长为
，上表面的动摩擦因数
，下表面光滑，其余轨道也均光滑。除L形滑板外，其余轨道均固定在地面上。弹簧下端固定，处于原长时上端与A和
都等高。B点距地面高度
。
与竖直方向夹角为
，CD与水平方向夹角也为
，且
。一质量
的小滑块穿套在轨道OABC上，不与弹簧相连，压缩弹簧后滑块被弹出，滑到C点飞出后，立刻沿CD下滑，CD与DE平滑相接。图中圆1和圆2分别为E、F两点的曲率圆，半径分别为
，曲率圆的半径也称为曲线在该处的曲率半径。g取
。
(1)若已知弹簧劲度系数
，则当小滑块放在弹簧上处于静止状态时，求弹簧的压缩量x；
(2)某次弹射后，发现滑块到达C点时恰好对轨道无作用力，求滑块运动到A处时的速度大小
；
(3)某次弹射后，发现滑块在轨道EFG内运动时，其向心加速度大小恒为
，求轨道EFG内任意高度h处的曲率半径
与h的函数关系式。（提示：任意曲线运动的向心加速度
）
(4)已知EFG轨道的形状及大小就是（2）问中所求的结果，滑块与L形滑板发生的碰撞是弹性碰撞。现要使滑块能到达、且不会从L形滑板上脱落，求滑块运动在A点时速度大小的取值范围。
【答案】(1)0.01m
(2)2m/s
(3)
(4)
【知识点】利用动量守恒及能量守恒解决（类）碰撞问题、应用动能定理解多段过程问题、杆球类模型及其临界条件、胡克定律及其应用
【详解】（1）根据胡克定律
而
联立可得弹簧的压缩量为
（2）在C点，由牛顿第二定律
代入数据得
从A点到C点，由动能定理
代入数据得
（3）在E点
代入数据得
从E点到P点，由动能定理
解得
在P点
由以上式子解得
在F点
，
所以轨道EFG内任意高度h处的曲率半径
与h的函数关系式为
（4）①若滑块恰好过B点，即
由动能定理
解得
所以滑块若能过B点，则一定能过F点。由动能定理
可得滑块在A点时的速度最小值为
②滑块与L形滑板，由动量守恒定律
解得
且满足能量守恒定律
，
从A点到G点，由动能定理
解得
所以滑块运动在A点时速度大小的取值范围为
