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试卷云
类比是研究问题的常用方法。
（1）情境1：如图1所示，弹簧振子的平衡位置为O点，在B、C两点之间做简谐运动，小球相对平衡位置的位移x随时间t的变化规律可用方程
描述，其中
为小球相对平衡位置O时的最大位移，m为小球的质量，k为弹簧的劲度系数。请在图2中画出弹簧的弹力F随位移x变化的示意图，并求出小球从C点到O点的时间。
（2）情境2：假设地球可视为一个质量分布均匀且密度为ρ的球体，地球的半径为R，万有引力常数为G。
a．根据电荷均匀分布的球壳内试探电荷所受库仑力的合力为零，利用库仑力与万有引力的表达式的相似性和相关力学知识，在图3中画出质量为m的小球所受万有引力F与小球到球心之间的距离r的图像，并标出
时的纵坐标；
b．若通过地球的南北两极之间能够打通一个真空隧道，把一个质量为m的小球从北极的隧道口（地面处）由静止释放后，小球能够在隧道内运动。求小球从隧道口到地心的时间。
【答案】（1）
，
；（2）a．
；b．
【知识点】简谐运动的回复力、弹簧振子在一个周期内运动的定性规律、导体处于静电平衡状态时内外电场及电荷的分布规律、空壳内及地表下的万有引力
【详解】（1）弹簧的弹力是弹簧振子做简谐运动的回复力，弹簧的弹力F随位移x变化的关系为
画出弹簧的弹力F随位移x变化的示意图，如图
小球相对平衡位置的位移x随时间t的变化规律
则
弹簧振子做简谐运动的周期为
小球从C点到O点的时间
（2）a．设小球到球心的距离为r，当r＜R时，即小球在地球内部，地球R-r球壳对小球的万有引力为0，则小球受到的万有引力大小为
可得F与r成正比，故此时的图像为过原点的倾斜直线。
当r=R时，万有引力为
当r＞R时，即小球在地球外部，万有引力大小为
可得F与
成正比，图像如图所示
b．设小球相对地心的位移为x，根据（2）问a解析可得，小球受到的万有引力为
则小球在隧道的运动为简谐振动，周期为
小球从隧道口到地心的时间
