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试卷云
科学家根据天文观测提出宇宙膨胀模型：在宇宙大尺度上，所有的宇宙物质（星体等）在做彼此远离运动，且质量始终均匀分布，在宇宙中所有位置观测的结果都一样。以某一点O为观测点，以质量为m的小星体（记为P）为观测对象。当前P到O点的距离为
，宇宙的密度为
。
（1）求小星体P远离到
处时宇宙的密度ρ；
（2）以O点为球心，以小星体P到O点的距离为半径建立球面。P受到的万有引力相当于球内质量集中于O点对P的引力。已知质量为
和
、距离为R的两个质点间的引力势能
，G为引力常量。仅考虑万有引力和P远离O点的径向运动。
a．求小星体P从
处远离到
。处的过程中动能的变化量
；
b．宇宙中各星体远离观测点的速率v满足哈勃定律
，其中r为星体到观测点的距离，H为哈勃系数。H与时间t有关但与r无关，分析说明H随t增大还是减小。
【答案】（1）
；（2）a．
；b．H随t增大而减小
【知识点】计算中心天体的质量和密度、引力势能及其应用
【详解】（1）在宇宙中所有位置观测的结果都一样，则小星体P运动前后距离O点半径为
和
的球内质量相同，即
解得小星体P远离到
处时宇宙的密度
（2）a．此球内的质量
P从
处远离到
处，由能量守恒定律得，动能的变化量
b．由a知星体的速度随
增大而减小，星体到观测点距离越大，运动时间t越长，由
知，H减小，故H随t增大而减小。
