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试卷云
我们知道竖直方向弹簧振子的振动为简谐振动。现在它的右方放置一个转速可以精确调节的微型电机，便其带动一头按有一乒乓球的金属棒转动，在它的左方放一金属板，并用灯光从侧面照射这个装置，如图甲所示。适当调节电机的转速和重物的位置，可以观察到，乒乓球和重物在硬纸板上的影子在任何瞬间都重合。该实验表明，做匀速圆周运动的物体在圆的某一直径上的投影为简谐运动。将上述实验结果表示为图乙，其中M点为乒乓球，它沿着半径为A的圆周做角速度为
的匀速圆周运动，也可以说成矢量OM在xy平面内绕原点O做角速度为
的匀速旋转。
（1）如果t=0时，OM与x轴的夹角为
，则在任意时刻t，M点在x轴上的投影P点的位移与时间t满足什么关系?
（2）通过将M点做匀速圆周运动的速度沿着x轴和y轴进行分解，可以得到P点的速度随时间t的变化满足什么关系?
（3）类比第（2）问的分析，将M点的向心加速度进行分解，我们还能得到P点的加速度随时间t的变化关系满足什么形式（直接写出结果即可）。请根据写出的位移与加速度随时间的变化关系推导论证弹簧振子的周期公式满足
。
【答案】（1）x=Acos（ωt+φ）；（2）vP=-ωAsin（ωt+φ）；（3）aP＝−ω2Acos(ωt+φ)；见解析
【知识点】影响弹簧振子周期的物理量、周期公式、简谐运动图像对应的表达式
【详解】（1）竖直方向弹簧振子的振动为简谐运动，乒乓球和重物在硬纸板上的影子在任何瞬间都重合，则M点在x轴上的投影P点的位移与时间满足
x=Acos（ωt+φ）
（2）M点做匀速圆周运动的速度为
v=ωA
P点的速度和M点在x轴上的投影点速度相同，P点的速度随时间t的变化满足
vP=vx=-ωAsin（ωt+φ）
（3）M点做匀速圆周运动的加速度为
a=ω2AP点的加速度和M点在x轴上的投影点加速度相同，P点的加速度随时间t的变化满足
aP＝ax＝−ω2Acos(ωt+φ)
根据牛顿第二定律和回复力公式有
F=ma
F=-kx
则有
代入P点的加速度和位移表达式可得
所以可得弹簧振子的周期公式满足
