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试卷云
暗物质的研究是目前粒子物理学、天文物理学等学科研究的课题。构建模型研究暗物质，是一直重要的科学思维方法，暗物质与星体间的相互作用遵守万有引力定律。
(1)科学家发现，宇宙中有许多双星系统。双星系统是由两个星体构成，其中每个星体的线度（直径）都远小于两星体间的距离，一般双星系统距离其他星体很远，可以当做孤立系统处理。已知某双星系统中每个星体的质量都是
，两者相距
，它们正围绕两者连线的中点做匀速圆周运动，已知引力常量为
。求：
①该双星系统的运动的角速度大小
；
②科学家通过光学实验观测计算得到的角速度大小
与上述①中角速度
有些差异，为了解释这个问题，目前有理论认为，在宇宙中可能存在一种观测不到的暗物质可以提供依据。其模型简化为：假定在以这两个星体连线为直径的球体内，均匀分布着密度为
的暗物质，不考虑其它星体影响，根据这一模型可以计算该双星系统的运动的角速度
，试求出角速度大小之比
。
(2)螺旋星系中有大量的恒星和星际物质，主要分布在半径为
的球体内，球体外仅有极少的恒星，球体内物质总 质量为
，可认为均匀分布。且已知球壳对壳内物体的引力为零。球体内外的所有恒星都绕星系中心做匀速圆周运动，恒星到星系中心的距离为
，科学家根据实测数据，得到此螺旋星系中不同位置的恒星做匀速圆周运动的角速度大小
随
的变化关系如图所示。根据在
范围内的恒星运动的
与
成正比，科学家预言螺旋星系周围区域（
）存在一种暗物质。若暗物质质量均匀分布，请建构模型，估算该区域
内暗物质密度是球体
内物质密度的多少倍？
【答案】(1)①
；②
(2)
【知识点】计算双星问题的线速度、角速度与引力
【详解】（1）①对于双星系统，根据万有引力提供向心力
可得
②设暗物质的质量为
，则
由上式解得
（2）设球体内物质的密度为
，则
当
时，根据
可得
设暗物质密度为
，则
由图可知
解得
即暗物质密度是球体
内物质密度的
倍。
