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试卷云
简谐运动是最简单、最基本的振动，复杂的振动往往可以看作多个简谐运动的叠加。
（1）如图1所示，固定在竖直圆盘上的小球A随着圆盘以角速度ω沿顺时针方向做半径为R的匀速圆周运动。用竖直向下的平行光照射小球A，在圆盘下方的屏上可以观察到小球A在x方向上的“影子”的运动，开始计时时小球A在圆盘最上端。请根据简谐运动的运动学特征（即做简谐运动的物体的位移x与运动时间t满足正弦函数规律），证明：小球A的“影子”以圆盘圆心在屏上的投影点O为平衡位置做简谐运动。
（2）科幻小说《地心游记》中假想凿通一条贯穿地心的极窄且光滑的隧道，人可以通过该隧道直通地球彼岸。为简化研究，质量为M、半径为R的地球视为质量分布均匀的球体，已知质量均匀分布的球壳内的质点所受万有引力的合力为零，万有引力常量为G。不计空气阻力。
a．如图2所示，以地心O为原点，沿隧道方向建立x轴，请根据简谐运动的动力学特征（即做简谐运动的物体所受的力与它偏离平衡位置的位移的大小成正比，并总是指向平衡位置）证明：质量为m的质点从静止开始落入隧道后在隧道内做简谐运动；
b．根据（1）中关于匀速圆周运动与简谐运动的关系，计算a问中质点通过隧道所用的时间t0。
【答案】（1）见解析；（2）a.见解析，b. 
【知识点】简谐运动的回复力
【详解】（1）设经过时间t小球与O点连线转过的角度为φ，小球A的“影子”的位移为
又因为
解得
所以，小球A的“影子”以圆盘圆心在屏上的投影点O为平衡位置做简谐运动；
（2）a.设质点偏离地心的位移为x，根据万有引力定律得
又因为
解得
质点所受的万有引力与它偏离平衡位置的位移的大小成正比，方向与位移方向相反，所以质点从静止开始落入隧道后在隧道内做简谐运动；
b.根据
得
简谐运动的周期为
质点通过隧道所用的时间为
解得
