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试卷云
某同学设计了如图所示的游戏装置，该游戏装置由竖直平面内的足够长光滑水平轨道
、光滑圆弧轨道
、粗糙倾斜轨道
和光滑细圆管轨道
平滑连接而成，E处的切线水平。
和
的半径
的长度
，倾角
（取
）。A处有一弹簧，以弹性势能
将一个质量为
的小滑块由静止水平向右弹出，小滑块与
间的动摩擦因数
。在E点右方
处装有两块分别嵌在上下墙面中、厚度不计的竖直挡板M和N，上下墙面分别与
点等高。初始时两挡板伸出墙面相同的长度，并接触在一起。在E点的内侧轨道上有一压力开关（不影响小滑块的运动），若小滑块通过E点时对内侧轨道的压力大于等于
，则开关接通，使挡板
立即以
的速度匀速收回到墙面中。如果小滑块从E点水平抛出后，能不经过任何碰撞而直接从挡板
之间穿过，则游戏成功。
（1）若
，求小滑块到达B点时的速度大小；
（2）若
，求：
①小滑块经过圆弧轨道C点时的向心加速度大小。
②小滑块经过E点时压力开关是否会接通？并通过计算说明。
（3）求游戏能成功时
的取值范围。
【答案】（1）
；（2）①
；②会接通，见解析；（3）
【知识点】平抛运动位移的计算、杆球类模型及其临界条件、应用动能定理解多段过程问题、机械能与曲线运动结合问题
【详解】（1）根据能量守恒
解得
（2）①当
时，根据动能定理
小滑块经过圆弧轨道C点时的向心加速度为
解得
②小滑块运动到E点过程，根据动能定理
在E点时，设轨道对小滑块的支持力为N，根据牛顿第二定律
解得
根据牛顿第三定律，小滑块通过E点时对内侧轨道的压力等于轨道对小滑块的支持力
所以，压力开关会接通；
（3）当小滑块通过E点时开关恰好接通的速度大小为
，则
解得
则若保证开关接通，小滑块通过E点时的速度范围为
BE两点的高度差为
当小滑块恰好可以从最上面穿过挡板时的速度为
，此时为最大速度，则小滑块做平抛运动，在水平方向
竖直方向
解得
所以，小滑块通过E点时的最大速度为
；当小滑块恰好可以从最下面穿过挡板时的速度为
，此时为最小速度，则小滑块做平抛运动，在水平方向
竖直方向
解得
此时小滑块下落的高度为
即此时小滑块恰好从最低点通过挡板。所以，游戏能成功时小滑块通过E点的速度范围为
根据动能定理
解得
