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试卷云
索末菲继承并进一步发展了玻尔的氢原子理论，除了能成功解释氢原子光谱的实验规律，还能解释类氢离子光谱的实验规律，对量子力学的发展起到了重要的促进作用。按照两人的相关理论，氢原子或类氢离子中的电子绕原子核（可以看作静止）做匀速圆周运动的轨道只可能是某些确定的轨道，如图所示，轨道序号从内到外分别是
。当电子在不同轨道上运动时，氢原子或类氢离子具有不同的能量状态，轨道序号
时的能量状态称为基态，轨道序号
时的能量状态称为激发态，氢原子或类氢离子的能量等于电子绕原子核运动的动能、电子与原子核系统的电势能的总和。理论证明，电荷量分别为
和
的点电荷相距为r时，取无穷远处为电势能零点，此两电荷系统的电势能的表达式为
，其中
。电子绕原子核（可看作静止）在轨道序号为n的轨道上做圆周运动时，其轨道周长为电子物质波波长（电子物质波波长λ与其动量
的关系为
）的n倍。已知氢原子中电子绕原子核运动的最小半径
，电子电量
，普朗克常数
，真空中的光速
。
（1）氢原子处于基态时的电子的动能；
（2）氢原子处于基态时的能量；
（3）核外只有一个电子的一价氦离子（
）是一种类氢离子，求该离子处于基态时的能量；
（4）大量处于基态的一价氦离子（
）受到激发后到某一激发态，所形成的光谱中仅有一条可见光的谱线，已知可见光光子能量的范围为1.62eV~3.11eV，求该可见光谱线对应的波长。
【答案】（1）13.58eV；（2）-13.58eV；（3）-54.32eV；（4）472nm
【知识点】带电粒子在电场中的电势能、带电粒子在点电荷电场中的运动、基态、激发态、跃迁、电离
【详解】（1）根据
解得
带入数据可得
（2）氢原子处于基态时的电势能
总能量
（3）设一价氦粒子（
）原子核带电量为Q，处于序号为n的轨道时
由题意可知
解得
电子的动能
电势能
总能量
一价氦粒子（
）原子核电量为Q=2e,类比以上分析可知，一价氦粒子（
）系统基态的能量为氢原子基态能量的4倍，即一价氦粒子（
）基态能量为
（4）一价氦粒子（
）处于不同能量状态时的能量为
分别为：
要能观察到可见光范围的光谱线，发生跃迁的两能级的能量之差应该在可见光的能量范围1.63eV~3.10eV，要仅能观察到一条可见光范围内的光谱线，由上述一价氦粒子（
）的能级分布可知，可将一价氦粒子（
）激发到第4或者第5能级，从第4能级跃迁到第3能级发出的光符合要求。则
解得
